Points à coordonnées entières - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les points à coordonnées entières sur la droite \((d)\) d'équation  \(y=\dfrac{7}{3}x-2\) .

Solution

Les points à coordonnées entières sur la droite \((d)\) sont les points de coordonnées \((x;y) \in \mathbb{Z}^2\) telles que 
\(\begin{align*}y=\frac{7}{3}x-2\ \ \Longleftrightarrow \ \ 3y=7x-6\ \ \Longleftrightarrow \ \ 7x-3y=6.\end{align*}\)  

Résolvons donc l'équation \((E) \colon 7x-3y=6\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

• On applique l'algorithme d'Euclide pour \(7\) et \(3\) :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 7&3&2&1\\ \hline 3&1&3&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 1\\ \ \end{array}\end{align*}\)  
  On a donc \(\mathrm{PGCD}(7;3)=1\) , et comme \(1\) divise \(6\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.
  
• D'après l'algorithme d'Euclide, on a
  \(\begin{align*}7=3 \times 2+1 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 7 \times 1-3 \times 2=1 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 7 \times 6-3 \times 12=6\end{align*}\)  
  donc \((x_0;y_0)=(6;12)\) est une solution particulière de \((E)\) .
  
  
• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) . On a
  \(\begin{align*}7x-3y=7 \times 6-3 \times 12& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 7(x-6)=3(y-12).\end{align*}\)  
  On en déduit que \(7\) divise \(3(y-12)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(7;3)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(7\) divise \(y-12\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que 
  \(\begin{align*}y-12=7k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=7k+12.\end{align*}\)  
  On a alors 
  \(\begin{align*}7(x-6)=3(y-12)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 7(x-6)=3 \times 7k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x-6=3k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=3k+6.\end{align*}\)  
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(3k+6;7k+12)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(3k+6;7k+12)\) .
  On a  \(\begin{align*}7x-3y& = 7(3k+6)-3(7k+12)= 7 \times 6-3 \times 12= 6\end{align*}\) donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(3k+6;7k+12) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

Finalement, les points à coordonnées entières sur la droite \((d)\) sont les points \(M_k(3k+6;7k+12)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .